Построение Декартовой прямоугольной системы координат
на плоскости
Декартова прямоугольная система координатна плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX 1 и OX 2 , которые пересекаются в точке O , называемой началом координат (рис.1). На каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси OX 2 вверх, ось OX 1 смотрела направо. OX 1 -- ось абсцисс, OX 2 -- ось ординат. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат OX 1 и OX 2 , называются координатными углами или квадрантами .
Точка B A на координатную ось OX 1 ;
Точка C - ортогональная проекция точки A на координатную ось OX 2 ;
Построение Декартовой прямоугольной системы координат в пространстве
Декартова прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX , OY и OZ . Оси координат пересекаются в точке O , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX -- ось абсцисс, OY -- ось ординат,OZ -- ось аппликат.
Если большой палец правой руки принять за направление X , указательный - за направление Y а средний - за направление Z , то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ . Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (рис.2). Точка F - ортогональная проекция точки A на координатную плоскость OXY; Точка E - ортогональная проекция точки A на координатную плоскость OYZ; Точка G - ортогональная проекция точки A на координатную плоскость OX Z ;
Макетное представление Декартовой прямоугольной системы координат в пространстве показано на рисунках 3, 4 и 5.
Определение координат точки в Декартовой прямоугольной системе координат
Главным вопросом любой системы координат является вопрос определения координат точки, находящейся в ее плоскости или пространстве.
Определение координат точки на плоскости Декартовой системы координат
Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами - x и y (рис.5). Координата x равна длине отрезка OB , координата y -- длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям OY и OX соответственно. Координата x называется абсциссой (лат. abscissa - отрезок), координата y -- ординатой (лат. ordinates - расположенный в порядке) точки A . Записывают так:
Если точка A лежит в координатном углу I, то она имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то - отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то она имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то - положительную абсциссу и отрицательную ординату.
Так определяются координаты в Декартовой системе координат на плоскости.
Упорядоченная система двух или трёх пересекающихся перпендикулярных друг другу осей с общим началом отсчёта (началом координат) и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат .
Общая декартова система координат (аффинная система координат ) может включать и не обязательно перпендикулярные оси. В честь французского математика Рене Декарта (1596-1662) названа именно такая система координат, в которой на всех осях отсчитывается общая единица длины и оси являются прямыми.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости имеет две оси, а прямоугольная декартова система координат в пространстве - три оси. Каждая точка на плоскости или в пространстве определяется упорядоченным набором координат - чисел в соответствии единице длины системы координат.
Заметим, что, как следует из определения, существует декартова система координат и на прямой, то есть в одном измерении. Введение декартовых координат на прямой представляет собой один из способов, с помощью которого любой точке прямой ставится в соответствие вполне определённое вещественное число, то есть координата.
Метод координат, возникший в работах Рене Декарта, ознаменовал собой революционную перестройку всей математики. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так, неравенство z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy и находящейся выше этой плоскости на 3 единицы.
С помощью декартовой системы координат принадлежность точки заданной кривой соответствует тому, что числа x и y удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с центром в заданной точке (a ; b ) удовлетворяют уравнению (x - a )² + (y - b )² = R ² .
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости . Одна из этих осей называется осью Ox , или осью абсцисс , другую - осью Oy , или осью ординат . Эти оси называются также координатными осями. Обозначим через M x и M y соответственно проекции произвольной точки М на оси Ox и Oy . Как получить проекции? Проведём через точку М Ox . Эта прямая пересекает ось Ox в точке M x . Проведём через точку М прямую, перпендикулярную оси Oy . Эта прямая пересекает ось Oy в точке M y . Это показано на рисунке ниже.
x и y точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x и OM y . Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x 0 - 0 и y = y 0 - 0 . Декартовы координаты x и y точки М абсциссой и ординатой . Тот факт, что точка М имеет координаты x и y , обозначается так: M (x , y ) .
Координатные оси разбивают плоскость на четыре квадранта , нумерация которых показана на рисунке ниже. На нём же указана расстановка знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином квадранте.
Помимо декартовых прямоугольных координат на плоскости часто рассматривается также полярная система координат. О способе перехода от одной системы координат к другой - в уроке полярная система координат .
Прямоугольная декартова система координат в пространстве
Декартовы координаты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми координатами на плоскости.
Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом O и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве .
Одну из указанных осей называют осью Ox , или осью абсцисс , другую - осью Oy , или осью ординат , третью - осью Oz , или осью аппликат . Пусть M x , M y M z - проекции произвольной точки М пространства на оси Ox , Oy и Oz соответственно.
Проведём через точку М Ox Ox в точке M x . Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oy . Эта плоскость пересекает ось Oy в точке M y . Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oz . Эта плоскость пересекает ось Oz в точке M z .
Декартовыми прямоугольными координатами x , y и z точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x , OM y и OM z . Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x 0 - 0 , y = y 0 - 0 и z = z 0 - 0 .
Декартовы координаты x , y и z точки М называются соответственно её абсциссой , ординатой и аппликатой .
Попарно взятые координатные оси располагаются в координатных плоскостях xOy , yOz и zOx .
Задачи о точках в декартовой системе координат
Пример 1.
A (2; -3) ;
B (3; -1) ;
C (-5; 1) .
Найти координаты проекций этих точек на ось абсцисс.
Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox , а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, и ординату (координату на оси Oy , которую ось абсцисс пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось абсцисс:
A x (2; 0) ;
B x (3; 0) ;
C x (-5; 0) .
Пример 2. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A (-3; 2) ;
B (-5; 1) ;
C (3; -2) .
Найти координаты проекций этих точек на ось ординат.
Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy , а следовательно имеет ординату, равную ординате самой точки, и абсциссу (координату на оси Ox , которую ось ординат пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось ординат:
A y (0; 2) ;
B y (0; 1) ;
C y (0; -2) .
Пример 3. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A (2; 3) ;
B (-3; 2) ;
C (-1; -1) .
Ox .
Ox Ox Ox , будет иметь такую же абсциссу, что и данная точка, и ординату, равную по абсолютной величине ординате данной точки, и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Ox :
A" (2; -3) ;
B" (-3; -2) ;
C" (-1; 1) .
Решить задачи на декартову систему координат самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 4. Определить, в каких квадрантах (четвертях, рисунок с квадрантами - в конце параграфа "Прямоугольная декартова система координат на плоскости") может быть расположена точка M (x ; y ) , если
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
Пример 5. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A (-2; 5) ;
B (3; -5) ;
C (a ; b ) .
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy .
Продолжаем решать задачи вместе
Пример 6. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A (-1; 2) ;
B (3; -1) ;
C (-2; -2) .
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy .
Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси Oy направленный отрезок, идущий от оси Oy до данной точки. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oy , будет иметь такую же ординату, что и данная точка, и абсциссу, равную по абсолютной величине абсциссе данной точки, и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy :
A" (1; 2) ;
B" (-3; -1) ;
C" (2; -2) .
Пример 7. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A (3; 3) ;
B (2; -4) ;
C (-2; 1) .
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат.
Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг начала координат направленный отрезок, идущий от начала координат к данной точке. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно начала координат, будет иметь абсциссу и ординату, равные по абсолютной величине абсциссе и ординате данной точки, но противоположные им по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат:
A" (-3; -3) ;
B" (-2; 4) ;
C (2; -1) .
Пример 8.
A (4; 3; 5) ;
B (-3; 2; 1) ;
C (2; -3; 0) .
Найти координаты проекций этих точек:
1) на плоскость Oxy ;
2) на плоскость Oxz ;
3) на плоскость Oyz ;
4) на ось абсцисс;
5) на ось ординат;
6) на ось апликат.
1) Проекция точки на плоскость Oxy расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxy :
A xy (4; 3; 0) ;
B xy (-3; 2; 0) ;
C xy (2; -3; 0) .
2) Проекция точки на плоскость Oxz расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxz :
A xz (4; 0; 5) ;
B xz (-3; 0; 1) ;
C xz (2; 0; 0) .
3) Проекция точки на плоскость Oyz расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oyz :
A yz (0; 3; 5) ;
B yz (0; 2; 1) ;
C yz (0; -3; 0) .
4) Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox , а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, а ордината и апликата проекции равны нулю (поскольку оси ординат и апликат пересекают ось абсцисс в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось абсцисс:
A x (4; 0; 0) ;
B x (-3; 0; 0) ;
C x (2; 0; 0) .
5) Проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy , а следовательно имеет ординату, равную ординате самой точки, а абсцисса и апликата проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и апликат пересекают ось ординат в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось ординат:
A y (0; 3; 0) ;
B y (0; 2; 0) ;
C y (0; -3; 0) .
6) Проекция точки на ось апликат расположена на самой оси апликат, то есть оси Oz , а следовательно имеет апликату, равную апликате самой точки, а абсцисса и ордината проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и ординат пересекают ось апликат в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось апликат:
A z (0; 0; 5) ;
B z (0; 0; 1) ;
C z (0; 0; 0) .
Пример 9. В декартовой системе координат в пространстве даны точки
A (2; 3; 1) ;
B (5; -3; 2) ;
C (-3; 2; -1) .
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно:
1) плоскости Oxy ;
2) плоскости Oxz ;
3) плоскости Oyz ;
4) оси абсцисс;
5) оси ординат;
6) оси апликат;
7) начала координат.
1) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oxy Oxy , будет иметь абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную по величине апликате данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxy :
A" (2; 3; -1) ;
B" (5; -3; -2) ;
C" (-3; 2; 1) .
2) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oxz на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oxz , будет иметь абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную по величине ординате данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxz :
A" (2; -3; 1) ;
B" (5; 3; 2) ;
C" (-3; -2; -1) .
3) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oyz на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oyz , будет иметь ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную по величине абсциссе данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oyz :
A" (-2; 3; 1) ;
B" (-5; -3; 2) ;
C" (3; 2; -1) .
По аналогии с симметричными точками на плоскости и точками пространства, симметричными данным относительно плоскостей, замечаем, что в случае симметрии относительно некоторой оси декартовой системы координат в пространстве, координата на оси, относительно которой задана симметрия, сохранит свой знак, а координаты на двух других осях будут теми же по абсолютной величине, что и координаты данной точки, но противоположными по знаку.
4) Свой знак сохранит абсцисса, а ордината и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси абсцисс:
A" (2; -3; -1) ;
B" (5; 3; -2) ;
C" (-3; -2; 1) .
5) Свой знак сохранит ордината, а абсцисса и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси ординат:
A" (-2; 3; -1) ;
B" (-5; -3; -2) ;
C" (3; 2; 1) .
6) Свой знак сохранит апликата, а абсцисса и ордината поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси апликат:
A" (-2; -3; 1) ;
B" (-5; 3; 2) ;
C" (3; -2; -1) .
7) По аналогии с симметрии в случае с точками на плоскости, в случае симметрии относительно начала координат все координаты точки, симметричной данной, будут равными по абсолютной величине координатам данной точки, но противоположными им по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно начала координат.
Если на плоскости или в трехмерном пространстве ввести систему координат, то мы получим возможность описывать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств, то есть, мы сможем использовать методы алгебры. Поэтому понятие системы координат очень важно.
В этой статье мы покажем как задается прямоугольная декартова система координат на плоскости и в трехмерном пространстве и выясним как определяются координаты точек. Для наглядности приведем графические иллюстрации.
Навигация по странице.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости.
Введем прямоугольную систему координат на плоскости.
Для этого проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, выберем на каждой из них положительное направление , указав его стрелочкой, и выберем на каждой из них масштаб (единицу измерения длины). Обозначим точку пересечения этих прямых буквой О и будем считать ее началом отсчета . Так мы получили прямоугольную систему координат на плоскости.
Каждую из прямых с выбранным началом отсчета О , направлением и масштабом называют координатной прямой или координатной осью .
Прямоугольную систему координат на плоскости обычно обозначают Oxy , где Ox и Oy – ее координатные оси. Ось Ox называют осью абсцисс , а ось Oy – осью ординат .
Сейчас условимся с изображением прямоугольной системы координат на плоскости.
Обычно единица измерения длины на осях Ox и Oy выбирается одинаковая и откладывается от начала координат на каждой координатной оси в положительном направлении (отмечается штришком на координатных осях и рядом записывается единица), ось абсцисс направляется вправо, а ось ординат – вверх. Все остальные варианты направления координатных осей сводятся к озвученному (ось Ox - вправо, ось Oy - вверх) при помощи поворота системы координат на некоторый угол относительно начала координат и взгляда на нее с другой стороны плоскости (при необходимости).
Прямоугольную систему координат часто называют декартовой, так как ее на плоскости впервые ввел Рене Декарт. Еще чаще прямоугольную систему координат называют прямоугольной декартовой системой координат, собирая все воедино.
Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве.
Аналогично задается прямоугольная система координат Oxyz в трехмерном евклидовом пространстве, только берется не две, а три взаимно перпендикулярных прямых. Другими словами, к координатным осям Оx и Oy добавляется координатная ось Oz , которую называют осью аппликат .
В зависимости от направления координатных осей различают правую и левую прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве.
Если смотреть с положительного направления оси Oz и кратчайший поворот от положительного направления оси Ox к положительному направлению оси Oy происходит против хода часовой стрелки, то система координат называется правой .
Если смотреть с положительного направления оси Oz и кратчайший поворот от положительного направления оси Ox к положительному направлению оси Oy происходит по ходу часовой стрелки, то система координат называется левой .
Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости.
Сначала рассмотрим координатную прямую Ox и возьмем некоторую точку M на ней.
Каждому действительному числу соответствует единственная точка M на этой координатной прямой. К примеру, точке, расположенной на координатной прямой на расстоянии от начала отсчета в положительном направлении, соответствует число , а числу -3 соответствует точка, расположенная на расстоянии 3 от начала отсчета в отрицательном направлении. Числу 0 соответствует начало отсчета.
С другой стороны, каждой точке M на координатной прямой Ox соответствует действительное число . Это действительное число есть ноль, если точка M совпадает с началом отсчета (с точкой O ). Это действительное число положительно и равно длине отрезка OM в данном масштабе, если точка M удалена от начала отсчета в положительном направлении. Это действительное число отрицательно и равно длине отрезка OM со знаком минус, если точка M удалена от начала отсчета в отрицательном направлении.
Число называется координатой точки M на координатной прямой.
Теперь рассмотрим плоскость с введенной прямоугольной декартовой системой координат. Отметим на этой плоскости произвольную точку М .
Пусть - проекция точки M на прямую Ox , а - проекции точки M на координатную прямую Oy (при необходимости смотрите статью ). То есть, если через точку M провести прямые, перпендикулярные координатным осям Ox и Oy , то точками пересечения этих прямых с прямыми Ox и Oy являются соответственно точки и .
Пусть точке на координатной оси Ox соответствует число , а точке на оси Oy - число .
Каждой точке М плоскости в заданной прямоугольной декартовой системе координат соответствует единственная упорядоченная пара действительных чисел , называемых координатами точки M на плоскости. Координату называют абсциссой точки М , а - ординатой точки М .
Верно и обратное утверждение: каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует точка М плоскости в заданной системе координат.
Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.
Покажем как определяются координаты точки М в прямоугольной системе координат, заданной в трехмерном пространстве.
Пусть и - проекции точки M на координатные оси Ox , Oy и Oz соответственно. Пусть этим точкам на координатных осях Ox , Oy и Oz соответствуют действительные числа и .
Метод координат - это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C2 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить. Да-да, вот так взять и ввести: указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z.
Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.
Координаты куба
Если в задаче C2 будет куб - считайте, что вам повезло. Это самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.
Система координат также вводится очень просто:
- Начало координат - в точке A;
- Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок;
- Ось x направляем по ребру AB, y - по ребру AD, а ось z - по ребру AA 1 .
Обратите внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это несколько непривычно, но на самом деле очень логично.
Итак, теперь у каждой вершины куба есть координаты. Соберем их в таблицу - отдельно для нижней плоскости куба:
Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). Главное - не запутаться!
Призма - это уже намного веселее. При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания - верхнее будет считаться автоматически.
В задачах C2 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба. Кстати, если кто не в курсе, куб - это тоже призма, только четырехгранная.
Итак, поехали! Вводим систему координат:
- Начало координат - в точке A;
- Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;
- Ось x направляем по ребру AB, z - по ребру AA 1 , а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.
Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, как многие считают. А почему не совпадает? Подумайте сами: треугольник ABC - равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:
Надеюсь, теперь понятно, почему ось y не пойдет вдоль AC. Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH - прямоугольный, причем AC = 1, поэтому AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.
Теперь взглянем на всю призму вместе с построенной системой координат:
Получаем следующие координаты точек:
Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема - это точки C и C 1 . У них есть иррациональные координаты, которые надо просто запомнить. Ну, или понять, откуда они возникают.
Координаты шестигранной призмы
Шестигранная призма - это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это происходит, если взглянуть на нижнее основание - обозначим его ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF. Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например, треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы.
Теперь введем собственно систему координат. Начало координат - точку O - поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет вдоль FC, а ось y - через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:
Обратите внимание: начало координат НЕ совпадает с вершиной многогранника! На самом деле, при решении настоящих задач вы обнаружите, что это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений.
Осталось добавить ось z. По традиции, проводим ее перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх. Получим итоговую картинку:
Запишем теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:
Координаты верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:
Пирамида - это вообще очень сурово. Мы разберем только самый простой случай - правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны единице. Однако в настоящих задачах C2 длины ребер могут отличаться, поэтому ниже приведена и общая схема вычисления координат.
Итак, правильная четырехугольная пирамида. Это такая же, как у Хеопса, только чуть поменьше. Обозначим ее SABCD, где S - вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y - вдоль AD, а ось z - вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH - вот и построим ее. Получим следующую картинку:
Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH - высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Собственно, длина отрезка SH - это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).
Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC - общая). Следовательно, SH = BH. Но BH - половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:
Вот и все с координатами пирамиды. Но не с координатами вообще. Мы рассмотрели лишь самые распространенные многогранники, однако этих примеров достаточно, чтобы самостоятельно вычислить координаты любых других фигур. Поэтому можно приступать, собственно, к методам решения конкретных задач C2.
В пространстве, в которой положение точки может быть определено как её проекции на фиксированные прямые, пересекающиеся в одной точке, называемой началом координат. Эти проекции называются координатами точки, а прямые - осями координат.
В общем случае на плоскости декартова система координат (аффинная система координат) задаётся точкой О (началом координат) и упорядоченной парой приложенных к ней не лежащих на одной прямой векторов е 1 и е 2 (базисных векторов). Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называют осями координат данной декартовой системы координат. Первая, определяемая вектором е 1 , называется осью абсцисс (или осью Ох), вторая - осью ординат (или осью Оу). Сама декартова система координат обозначается Ое 1 е 2 или Оху. Декартовыми координатами точки М (рисунок 1) в декартовой системе координат Oe 1 е 2 называется упорядоченная пара чисел (х, у), которые являются коэффициентами разложения вектора ОМ по базису {е 1 , е 2 }, то есть х и у таковы, что ОМ = хе 1 + уе 2 . Число х, -∞ < x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).
Если на плоскости введены две декартовы системы координат Oe 1 e 2 и 0’е’ 1 е’ 2 так, что векторы базиса {е’ 1 , е’ 2 } выражены через векторы базиса {e 1 ,е 2 } формулами
e’ 1 = a 11 e 1 + a 12 е 2 , е’ 2 = а 21 e 1 + a 22 e 2
и точка О’ имеет в декартовой системе координат Оe 1 e 2 координаты (х 0 , у 0), то координаты (х, у) точки М в декартовой системе координат Оe 1 e2 и координаты (х’, у’) той же точки в декартовой системе координат О’е 1 е’ 2 связаны соотношениями
х = а 11 х’ + а 21 у’ + х 0 , у = а 12 х’+ а 22 у’+ у 0 .
Декартову систему координат называют прямоугольной, если базис {е 1 , е 2 } ортонормированный, то есть векторы е 1 и е 2 взаимно перпендикулярны и имеют длины, равные единице (векторы е 1 и е 2 называют в этом случае ортами). В прямоугольной декартовой системе координат координаты х и у точки М суть величины ортогональных проекций точки М на оси Ох и Оу соответственно. В прямоугольной декартовой системе координат Оху расстояние между точками М 1 (х 1 , у 1) и М 2 (х 2 , у 2) равно √(х 2 -х 1) 2 + (y 2 -y 1) 2
Формулы перехода от одной прямоугольной декартовой системы координат Оху к другой прямоугольной декартовой системе координат О’х’у’, начало которой О’ декартовой системы координат Оху есть О’(х0, у0), имеют вид
х = х’cosα - у’sinα + х 0 , у = х’sin α + у’cosα + у 0
х = х’cosα + у’sinα + х 0 , у = х’sinα - у’cosα + у 0 .
В первом случае система О’х’у’ образуется поворотом базисных векторов е 1 ; е 2 на угол α и последующим переносом начала координат О в точку О’ (рисунок 2),
а во втором случае - поворотом базисных векторов е 1 , е 2 на угол α, последующим отражением оси, содержащей вектор е 2 относительно прямой, несущей вектор е 1 , и переносом начала координат О в точку О’ (рисунок 3).
Иногда используются косоугольные декартовы системы координат, отличающиеся от прямоугольной тем, что угол между единичными базисными векторами не является прямым.
Аналогично определяется общая декартова система координат (аффинная система координат) в пространстве: задаётся точка О - начало координат и упорядоченная тройка приложенных к ней не лежащих в одной плоскости векторов е 1 , е 2 , е 3 (базисных векторов). Как и в случае плоскости, определяются оси координат - ось абсцисс (ось Ох), ось ординат (ось Оу) и ось аппликат (ось Оz) (рисунок 4).
Декартова система координат в пространстве обозначается Oe 1 е 2 е 3 (или Oxyz). Плоскости, проходящие через пары осей координат, называются координатными плоскостями. Декартова система координат в пространстве называется правой, если поворот от оси Ох к оси Оу совершается в направлении, противоположном движению часовой стрелки, если смотреть на плоскость Оху из какой-нибудь точки положительной полуоси Оz, в противоположном случае декартова система координат называется левой. Если базисные векторы е 1 , е 2 , е 3 имеют длины, равные единице, и попарно перпендикулярны, то декартова система координат называется прямоугольной. Положение одной прямоугольной декартовой системы координат в пространстве относительно другой прямоугольной декартовой системы координат с той же ориентацией определяется тремя эйлеровыми углами.
Декартова система координат названа по имени Р. Декарта, хотя в его сочинении «Геометрия» (1637) рассматривалась косоугольная система координат, в которой координаты точек могли быть только положительными. В издании 1659-61 годов к «Геометрии» приложена работа голландского математика И. Гудде, в которой впервые допускаются как положительные, так и отрицательные значения координат. Пространственную декартову систему координат ввёл французский математик Ф. Лаир (1679). В начале18 века установились обозначения х, у, z для декартовых координат.
