Цели урока:
Образовательные:
- Создать условия для осмысленного усвоения учащимися физического смысла производной.
- Содействовать формированию умений и навыков практического использования производной для решения разнообразных физических задач.
Развивающие:
- Способствовать развитию математического кругозора, познавательного интереса у учащихся через раскрытие практической необходимости и теоретической значимости темы.
- Обеспечить условия для совершенствования мыслительных умений учащихся: сравнивать, анализировать, обобщать.
Воспитательная:
- Содействовать воспитанию интереса к математике.
Тип урока: Урок освоения новых знаний.
Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Оборудование: Компьютер, интерактивная доска, презентация, учебник.
Структура урока:
- Организационный момент, постановка цели урока
- Изучение нового материала
- Первичное закрепление нового материала
- Самостоятельная работа
- Итог урока. Рефлексия.
Ход урока
I. Организационный момент, постановка цели урока (2 мин.)
II . Изучение нового материала (10 мин.)
Учитель: На предыдущих уроках мы познакомились с правилами вычисления производных, научились находить производные линейной, степенной, тригонометрических функций. Узнали, в чем заключается геометрический смысл производной. Сегодня на уроке мы узнаем, где в физике применяется данное понятие.
Для этого вспомним определение производной (Слайд 2)
Теперь обратимся к курсу физики (Слайд 3)
Учащиеся рассуждают, вспоминают физические понятия и формулы.
Пусть тело движется по закону S(t)= f(t) Рассмотрим путь, пройденный телом за время от t 0 до t 0 + Δ t, где Δt – приращение аргумента. В момент времени t 0 телом пройден путь S(t 0), в момент t 0 +Δt – путь S(t 0 +Δt). Поэтому за время Δt тело прошло путь S(t 0 +Δt) –S(t 0), т.е. мы получили приращение функции. Средняя скорость движения тела за этот промежуток времени υ==
Чем меньше промежуток времени t, тем точнее мы можем узнать, с какой скоростью движется тело в момент t. Устремив t →0, получим мгновенную скорость – числовое значение скорости в момент t этого движения.
υ= , при Δt→0 скорость – есть производная от пути по времени.
Слайд 4
Вспомним определение ускорения.
Применяя изложенный выше материал можно сделать вывод, что при t а(t)= υ’(t) ускорение – есть производная от скорости.
Далее на интерактивной доске появляются формулы силы тока, угловой скорости, ЭДС и т.д. Учащиеся дописывают мгновенные значения данных физических величин через понятие производной. (При отсутствии интерактивной доски использовать презентацию)
Слайды 5-8
Вывод формулируют учащиеся.
Вывод: (Слайд 9) Производная – это есть скорость изменения функции. (Функции пути, координаты, скорости, магнитного потока и т.д.)
υ (х)=f ’(х)
Учитель: Мы видим, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых физикой, техническими науками, химией, аналогична связи между путем и скоростью. Можно привести множество задач, для решения которых также необходимо находить скорость изменения некоторой функции, например: нахождение концентрации раствора в определенный момент, нахождение расхода жидкости, угловой скорости вращения тела, линейной плотности в точке и т.д. Некоторые из таких задач мы сейчас решим.
III. Закрепление полученных знаний (работа в группах) (15 мин.)
С последующим разбором у доски
Перед решением задач уточнить единицы измерения физических величин.
Скорость – [м/с]
Ускорение – [м/с 2 ]
Сила – [Н]
Энергия – [Дж]
Задание 1 группе
Точка движется по закону s(t)=2t³-3t (s – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислите скорость движения точки, ее ускорение в момент времени 2с
Задание 2 группе
Маховик вращается вокруг оси по закону φ(t)= t 4 -5t. Найдите его угловую скорость ω в момент времени 2с (φ – угол вращения в радианах, ω – угловая скорость рад/с)
Задание 3 группе
Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону х(t)=2-3t+2t²
Найдите скорость тела и его кинетическую энергию через 3с после начала движения. Какая сила действует на тело в этот момент времени? (t измеряется в секундах, х – в метрах)
Задание 4
Точка совершает колебательные движения по закону х(t)=2sin3t. Докажите, что ускорение пропорционально координате х.
IV. Самостоятельное решение задач №272, 274, 275, 277
[А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов и др. «Алгебра и начала анализа10-11 класс»] 12 мин
Дано: | Решение: |
x(t)=- ______________ t=? υ(t)=? |
υ(t)=х’(t); υ(t)= (-)’=·3t²+6t= +6t; a(t)=υ’(t) a(t)=( +6t)’=·2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t=6; υ(6)=+6·6=-18+36=18м/с Ответ: t=6c; υ(6)= 18м/с |
Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B (x ; f (x )). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆ x ; ВС =∆у; tgβ =∆ y /∆ x .
Так как АС || Ox , то Ð ALO = Ð BAC = β (как соответственные при параллельных). Но Ð ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a ), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tg β =∆ y /∆ x , то получим
или
tg
a
=
f
"(x
0
), так как
, по определению
производной. Но tg
a
= k - угловой
коэффициент касательной, значит, k = tg
a
=
f
"(x
0
).
a
-угол наклона
касательной к положительному направлению оси Ох
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .
Физический смысл производной.
Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x (t ). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [ t 0 ; t 0 + ∆ t ] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.
V ср = ∆ x /∆ t . Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆ t → 0.
lim V ср (t ) = n (t 0 ) - мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆ t → 0.
а lim = ∆ x /∆ t = x "(t 0 ) (по определению производной).
Итак, n (t ) = x "(t ).
Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f ( x ) в точке x 0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x 0
Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.
u (t ) = x "(t ) - скорость,
a (f ) = n "(t ) - ускорение, или
a (t ) = x "(t ).
Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:
φ = φ (t ) - изменение угла от времени,
ω = φ "(t ) - угловая скорость,
ε = φ "(t ) - угловое ускорение, или ε = φ "(t ).
Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m (х) - масса,
x Î , l - длина стержня,
р = m "(х) - линейная плотность.
С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука
F = - kx , x – переменная координата, k - коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 = k / m , получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t ) + ω 2 x(t ) = 0,
где ω = √ k /√ m частота колебаний (l / c ), k - жесткость пружины (H / m ).
Уравнение вида у" + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция
у = Asin (ωt + φ 0 ) или у = Acos (ωt + φ 0 ), где
А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,
φ 0 - начальная фаза.
Иногда в задаче B9 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.
На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» B9.
Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.
Если $S=x\left(t \right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:
Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.
Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.
Пример № 1
где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.
Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.
Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.
Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:
\[{x}"\left(t \right)=-\frac{1}{5}\cdot 5{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5\]
\[{x}"\left(t \right)=-{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5\]
Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:
\[{x}"\left(2 \right)=-{{2}^{4}}+4\cdot {{2}^{3}}-3\cdot {{2}^{2}}+5=\]
\[=-16+32-12+5=9\]
Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.
Пример № 2
Материальная точка движется по закону:
где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?
Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.
В первую очередь, вновь ищем производную:
\[{x}"\left(t \right)=\frac{1}{3}\cdot 3{{t}^{2}}-4\cdot 2t+19\]
\[{x}"\left(t \right)={{t}^{2}}-8t+19\]
От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:
\[{{t}^{2}}-8t+19=3\]
\[{{t}^{2}}-8t+16=0\]
\[{{\left(t-4 \right)}^{2}}=0\]
Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.
Ключевые моменты
В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.
Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.
Рассмотрим график некоторой функции y = f(x).
Отметим на нем некоторую точку А с координатами (x, f(x)) и недалеко от нее точку В с координатами (x+h, f(x+h). Проведем через эти точки прямую (АВ). Рассмотрим выражение . Разность f(x+h)-f(x) равна расстоянию BL, а расстояние АL равно h. Отношение BL/AL - это тангенс ε угла - угла наклона прямой (АВ). Теперь представим себе, что величина h очень и очень мала. Тогда прямая (АВ) почти совпадет с касательной в точке х к графику функции y = f(x).
Итак, дадим определения.
Производной функции y = f(x) в точке х называется предел отношения при h стремящемся к нулю. Пишут:
Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной.
У производной есть еще и физический смысл. В начальных классах давалось определение скорости, как расстояние, деленное на время. Однако, в реальной жизни скорость, например, автомобиля, не постоянна на протяжении всего пути. Пусть путь – это некоторая функция от времени - S(t).Зафиксируем момент времени t. За небольшой промежуток времени от t до t+h автомобиль пройдет путь S(t+h)-S(t). За маленький промежуток времени скорость сильно не изменится и поэтому, можно использовать определение скорости, известное с начальной школы . А при h, стремящемся к нулю, это и будет производная.