Производные простых тригонометрических функций. Вывод производных обратных тригонометрических функций

Представлены производные обратных тригонометрических функций и вывод их формул. Также даны выражения производных высших порядков. Ссылки на страницы с более подробным изложением вывода формул.

Сначала выведем формулу производной арксинуса. Пусть
y = arcsin x .
Поскольку арксинус есть функция, обратная к синусу, то
.
Здесь y - функция от x . Дифференцируем по переменной x :
.
Применяем :
.
Итак, мы нашли:
.

Поскольку , то . Тогда
.
И предыдущая формула принимает вид:
. Отсюда
.

Точно таким способом можно получить формулу производной арккосинуса. Однако проще воспользоваться формулой, связывающей обратные тригонометрические функции :
.
Тогда
.

Более подробно изложение представлено на странице “Вывод производных арксинуса и арккосинуса ”. Там дается вывод производных двумя способами - рассмотренным выше и по формуле производной обратной функции.

Вывод производных арктангенса и арккотангенса

Таким же способом найдем производные арктангенса и арккотангенса.

Пусть
y = arctg x .
Арктангенс есть функция, обратная к тангенсу:
.
Дифференцируем по переменной x :
.
Применяем формулу производной сложной функции :
.
Итак, мы нашли:
.

Производная арккотангенса:
.

Производные арксинуса

Пусть
.
Производную первого порядка от арксинуса мы уже нашли:
.
Дифференцируя, находим производную второго порядка:
;
.
Ее также можно записать в следующем виде:
.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют производные арксинуса первого и второго порядков:
.

Дифференцируя это уравнение, можно найти производные высших порядков.

Производная арксинуса n-го порядка

Производная арксинуса n-го порядка имеет следующий вид:
,
где - многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
.
Здесь .

Многочлен удовлетворяет дифференциальному уравнению:
.

Производная арккосинуса n-го порядка

Производные для арккосинуса получаются из производных для арксинуса с помощью тригонометрической формулы:
.
Поэтому производные этих функций отличаются только знаком:
.

Производные арктангенса

Пусть . Мы нашли производную арккотангенса первого порядка:
.

Разложим дробь на простейшие:

.
Здесь - мнимая единица, .

Дифференцируем раз и приводим дробь к общему знаменателю:

.

Подставляя , получим:
.

Производная арктангенса n-го порядка

Таким образом, производную арктангенса n-го порядка можно представить несколькими способами:
;
.

Производные арккотангенса

Пусть теперь . Применим формулу, связывающей обратные тригонометрические функции:
.
Тогда производная n-го порядка от арккотангенса отличаются только знаком от производной арктангенса:
.

Подставив , найдем:
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Тема: «Производная тригонометрических функций».
Тип урока – урок закрепления знаний.
Форма урока – интегрированный урок.
Место урока в системе уроков по данному разделу – обобщающий урок.
Цели поставлены комплексно:

  • обучающие: знать правила дифференцирования, уметь применять правила вычисления производных при решении уравнений и неравенств; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером;
  • развивающие: развитие интеллектуально-логических умений и познавательных интересов;
  • воспитательные: воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

Методы:

  • репродуктивные и продуктивные;
  • практические и словесные;
  • самостоятельные работы;
  • программированное обучение, Т.С.О.;
  • сочетание фронтальной, групповой и индивидуальной работы;
  • дифференцированного обучения;
  • индуктивно-дедуктивный.

Формы контроля:

  • устный опрос,
  • программированный контроль,
  • самостоятельная работа,
  • индивидуальные задания на компьютере,
  • взаимопроверка с применением диагностической карты учащегося.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Актуализация опорных знаний

а) Сообщение целей и задач:

  • знать правила дифференцирования, уметь применять правила вычисления производных при решении задач, уравнений и неравенств;
  • совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером;
  • развивать интеллектуально-логические умения и познавательные интересы;
  • воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

б) Повторение учебного материала

Правила вычисления производных (повторение формул по компьютеру со звуковым сопровождением). док.7.

  1. Чему равна производная синуса?
  2. Чему равна производная косинуса?
  3. Чему равна производная тангенса?
  4. Чему равна производная котангенса?

III. Устная работа

Найти производную.

Вариант 1.

Вариант 2.

у = 2х + 5.

у = 2х – 5.

у = 4cos х .

у = 3sin х .

у = tg х + ctg х .

у = tg х – ctg х .

у = sin 3х .

у = cos 4х .

Варианты ответов.

– 4sin х

– 3cos х

1/cos 2 х + 1/sin 2 х

1/cos 2 х –1/sin 2 х

1/sin 2 х –1/cos 2 х

– 4sin4х

– 3cos3х

Обменяйтесь тетрадями. Отметьте в диагностических картах верно выполненные задания знаком +, а неверно выполненные задания знаком –.

IV. Решение уравнений с помощью производной

– Как найти точки, в которых производная равна нулю?

Чтобы найти точки, в которых производная данной функции равна нулю, нужно:

– определить характер функции,
– найти область определения функции,
– найти производную данной функции,
– решить уравнение f "(x ) = 0,
– выбрать верный ответ.

Задача 1.

Дано: у = х – sin x .
Найти: точки, в которых производная равна нулю.
Решение. Функция определена и дифференцируема на множестве всех действительных чисел, так как на множестве всех действительных чисел определены и дифференцируемы функции g (x ) = x и t (x ) = – sin x .
Используя правила дифференцирования, получим f "(x ) = (x – sin x )" = (x )" – ( sin x )" = 1 – cos x .
Если f "(x ) = 0, то 1 – cos x = 0.
cos x = 1/; избавимся от иррациональности в знаменателе, получим cos x = /2.
По формуле t = ± arccos a + 2n, n Z, получим: х = ± arccos /2 + 2n, n Z.
Ответ: х = ± /4 + 2n, n Z.

V. Решение уравнений по алгоритму

Найти, в каких точках обращается в нуль производная.

f (x ) = sin x + cos x

f (x ) = sin 2x – x

f (x ) = 2x + cos(4x – )

Ученик может выбрать любой из трёх примеров. Первый пример оценивается оценкой «3 », второй – «4 », третий – «5 ». Решение в тетрадях с последующей взаимопроверкой. Один ученик решает у доски. Если решение оказывается неверным, то нужно ученику вернуться к алгоритму и попытаться решить снова.

Программированный контроль.

Вариант 1

Вариант 2

y = 2х 3

y = 3х 2

y = 1/4 х 4 + 2х 2 – 7

y = 1/2 х 4 + 4х + 5

y = х 3 + 4х 2 – 3х .
Решить уравнение y " = 0

y = 2х 3 – 9х 2 + 12х + 7.
Решить уравнение y " = 0.

y = sin 2х – cos 3х .

y = cos 2х – sin 3х .

y = tg х – ctg(х + /4).

y = ctg х + tg(х – /4).

y = sin 2 х .

y = cos 2 х .

Варианты ответов.

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Производные гиперболических функций.

Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции.

Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, - это производная функции f(x) по x .

Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x) , то в точке существует конечная производная обратной функции g(y) , причем . В другой записи .

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x - аргумент). Разрешив это уравнение относительно x , получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.

Из таблицы производных видим, что и .

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:

Представлено доказательство и вывод формулы для производной косинуса - cos(x). Примеры вычисления производных от cos 2x, cos 3x, cos nx, косинуса в квадрате, в кубе и в степени n. Формула производной косинуса n-го порядка.

Производная по переменной x от косинуса x равна минус синусу x:
(cos x)′ = - sin x .

Доказательство

Чтобы вывести формулу производной косинуса, воспользуемся определением производной:
.

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим законам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Тригонометрические формулы . Нам понадобится следующая формула:
(1) ;
2) Свойство непрерывности функции синус:
(2) ;
3) Значение первого замечательного предела:
(3) ;
4) Свойство предела от произведения двух функций:
Если и , то
(4) .

Применяем эти законы к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(1) ;
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.

Сделаем подстановку . При , . Используем свойство непрерывности (2):
.

Сделаем такую же подстановку и применим первый замечательный предел (3):
.

Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):

.

Тем самым мы получили формулу производной косинуса.

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих косинус. Найдем производные от следующих функций:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x ; y = cos 3 x и y = cos n x .

Пример 1

Найти производные от cos 2x, cos 3x и cos nx .

Решение

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = cos nx . Затем, в производную от cos nx , подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от cos 2x и cos 3x .

Итак, находим производную от функции
y = cos nx .
Представим эту функцию от переменной x как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1)
2)
Тогда исходная функция является сложной (составной) функцией, составленной из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем .
.
Подставим :
(П1) .

Теперь, в формулу (П1) подставим и :
;
.

Ответ

;
;
.

Пример 2

Найти производные от косинуса в квадрате, косинуса в кубе и косинуса в степени n:
y = cos 2 x ; y = cos 3 x ; y = cos n x .

Решение

В этом примере также функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от самой общей функции - косинуса в степени n:
y = cos n x .
Затем подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от косинуса в квадрате и косинуса в кубе.

Итак, нам нужно найти производную от функции
.
Перепишем ее в более понятном виде:
.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из двух функций и :
.

Находим производную от функции по переменной x:
.
Находим производную от функции по переменной :
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции .
.
Подставим :
(П2) .

Теперь подставим и :
;
.

Ответ

;
;
.

Производные высших порядков

Заметим, что производную от cos x первого порядка можно выразить через косинус следующим образом:
.

Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции :

.
Здесь .

Заметим, что дифференцирование cos x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .

Более строго эту формулу можно доказать с помощью метода математической индукции. Доказательство для n-й производной синуса изложено на странице “Производная синуса ”. Для n-й производной косинуса доказательство точно такое. Нужно только во всех формулах заменить sin на cos.

Представлено доказательство и вывод формулы для производной синуса - sin(x). Примеры вычисления производных от sin 2x, синуса в квадрате и кубе. Вывод формулы для производной синуса n-го порядка.

Производная по переменной x от синуса x равна косинусу x:
(sin x)′ = cos x .

Доказательство

Для вывода формулы производной синуса, мы воспользуемся определением производной:
.

Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Значение первого замечательного предела:
(1) ;
2) Непрерывность функции косинус:
(2) ;
3) Тригонометрические формулы . Нам понадобится следующая формула:
(3) ;
4) Свойство пределов:
Если и , то
(4) .

Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3) .
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.

Теперь сделаем подстановку . При , . Применим первый замечательный предел (1):
.

Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.

Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):

.

Формула производной синуса доказана.

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin 2 x и y = sin 3 x .

Пример 1

Найти производную от sin 2x .

Решение

Сначала найдем производную от самой простой части:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 · 1 = 2.
Применяем .
.
Здесь .

Ответ

(sin 2x)′ = 2 cos 2x.

Пример 2

Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin 2 x .

Решение

Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.

.
Здесь .

Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.

Ответ

Пример 3

Найти производную от синуса в кубе:
y = sin 3 x .

Производные высших порядков

Заметим, что производную от sin x первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.

Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции :

.
Здесь .

Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .

Докажем это, применяя метод математической индукции.

Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.

Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .

Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить , то эта формула примет вид (5).

Формула доказана.

Похожие материалы

Датчик предотвращения протечки воды своими руками
Веки

Датчик предотвращения протечки воды своими руками

Подключение светодиодов от батареек
Веки

Подключение светодиодов от батареек

Замуж за азербайджанца Как женятся азербайджанцы
Веки

Замуж за азербайджанца Как женятся азербайджанцы

КУЛЬТУРА

Пять причин почему азербайджанские парни выбирают русских девушек Как мужчины азербайджанцы относятся к русским женщинам

Пять причин почему азербайджанские парни выбирают русских девушек Как мужчины азербайджанцы относятся к русским женщинам

НИ ДЛЯ КОГО НЕ СЕКРЕТ, ЧТО АЗЕРБАЙДЖАНСКИЕ МУЖЧИНЫ САМЫЕ КРАСИВЫЕ...НЕСКОЛЬКО СЕКРЕТОВ О НИХ, А ТАК ЖЕ РЕЙТИНГ: 10 САМЫХ КРАСИВЫХ АЗЕРБАЙДЖАНЦЕВ... Если вы встретите мужчину, похожего на...
Менталитет персов. Иран. Мужчины и женщины Повсюду много интересных архитектурных решений

Менталитет персов. Иран. Мужчины и женщины Повсюду много интересных архитектурных решений

Иранские мужчины очень любят жениться на иностранках. Почему - отдельная песня. Во-первых, на иранках жениться дорого (невесту надо реально выкупать за большие деньги), во-вторых, местные мужики...
Пять причин почему азербайджанские парни выбирают русских девушек

Пять причин почему азербайджанские парни выбирают русских девушек

Инструкция Азербайджан - мусульманское государство. Молодые люди- воспитаны в духе своих соотечественников: они почитают старших, ценят семью и религию. Находясь за пределами своей страны, они...
Скачать прицел с ускоренным сведением 0

Скачать прицел с ускоренным сведением 0

Описание: Вашему вниманию представляется прицел с ускоренным сведениям Фаталити для WOT 1.6.0.7. Сам прицел сделан в 3 различных вариантах, начиная с легкого, минималистичного и заканчивая супер...
Информация о последнем обновлении

Информация о последнем обновлении

Еще одна очень полезная и весьма эффективная сборка модов — Чит-сборка «Не для всех» от CaKe2000.В сборке вы найдете как обычные модификации, так и чит моды. После установки данной модификации у...
Как оборудовать помещение для выращивания вешенки?

Как оборудовать помещение для выращивания вешенки?

Выращивание вешенки как бизнес – занятие интересное, перспективное и прибыльное. Вешенки можно выращивать как в промышленных масштабах, так и в небольших количествах. Последний вариант прекрасно...
К чему снятся зубы по соннику

К чему снятся зубы по соннику

В сновидениях некоторые вещи и явления несут особо важный для спящего смысл. Одним из наиболее мощных и ярких символов является человеческий зуб. Еще в древности люди точно знали, что зубы никогда...
Кровопускание (хиджама) – прекрасная Сунна нашего Пророка (мир ему и благословение)

Кровопускание (хиджама) – прекрасная Сунна нашего Пророка (мир ему и благословение)

14:57 2017 Слово «Хиджама» происходит от корня аль-хаджм, что означает «всасывание». Аль-хиджама – это термин, обозначающий кровопускание, являющееся важной сунной нашего Пророка (да...
Временные границы молитв (намазов)

Временные границы молитв (намазов)

С чего начать женщине выполнение намаза? Прежде чем ответить на этот вопрос, необходимо понять, что такое намаз, как его читать, узнать порядок совершения намаза для женщин. Намаз – важнейший...
Мечеть Кул Шариф в Казани — символ религиозных традиций Татарстана

Мечеть Кул Шариф в Казани — символ религиозных традиций Татарстана

В 1990-е годы общественность Татарстана подняла вопрос о восстановлении исторической мечети Кул-Шариф в Казанском Кремле. В ноябре 1995 года по Указу президента Республики Татарстан Минтимера...

ВЫБОР РЕДАКТОРА

ПОПУЛЯРНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

КАТЕГОРИИ

© Copyright 2024 Заболевания, лечение, препараты, очки. Контакты с администратором сайта